Закон всемирного тяготения схема. Закон и сила всемирного тяготения

И. Ньютон сумел вывести из законов Кеплера один из фундаментальных законов природы - закон всемирного тяготения. Ньютон знал, что для всех планет Солнечной системы ускорение обратно пропорционально квадрату расстояния от планеты до Солнца и коэффициент пропорциональности - один и тот же для всех планет.

Отсюда следует прежде всего, что сила притяжения, действующая со стороны Солнца на планету, должна быть пропорциональна массе этой планеты. В самом деле, если ускорение планеты дается формулой (123.5), то сила, вызывающая ускорение,

где - масса этой планеты. С другой стороны, Ньютону было известно ускорение, которое Земля сообщает Луне; оно было определено из наблюдений движения Луны, обращающейся вокруг Земли. Это ускорение примерно в раз меньше ускорения , сообщаемого Землей телам, находящимся вблизи земной поверхности. Расстояние же от Земли до Луны равно приблизительно земным радиусам. Иными словами, Луна отстоит от центра Земли в раз дальше, чем тела, находящиеся на поверхности Земли, а ускорение ее в раз меньше.

Если принять, что Луна движется под действием притяжения Земли, то отсюда следует, что сила земного притяжения, так же как и сила притяжения Солнца, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Наконец, сила притяжения Земли прямо пропорциональна массе притягиваемого тела. Этот факт Ньютон установил на опытах с маятниками. Он обнаружил, что период качаний маятника не зависит от его массы. Значит, маятникам разной массы Земля сообщает одинаковое ускорение, и, следовательно, сила притяжения Земли пропорциональна массе тела, на которое она действует. То же, конечно, следует из одинаковости ускорения свободного падения для тел разных масс, но опыты с маятниками позволяют проверить этот факт с большей точностью.

Эти сходные черты сил притяжения Солнца и Земли и привели Ньютона к заключению о том, что природа этих сил едина и что существуют силы всемирного тяготения, действующие между всеми телами и убывающие обратно пропорционально квадрату расстояния между телами. При этом сила тяготения, действующая на данное тело массы , должна быть пропорциональна массе .

Исходя из этих фактов и соображений, Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения таким образом: любые два тела притягиваются друг к другу с силой, которая направлена по линии, их соединяющей, прямо пропорциональна массам обоих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, т. е. сила взаимного тяготения

где и - массы тел, - расстояние между ними, а - коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной (способ ее измерения будет описан ниже). Сращивая эту формулу с формулой (123.4), видим, что , где - масса Солнца. Силы всемирного тяготения удовлетворяют третьему закону Ньютона. Это подтвердилось всеми астрономическими наблюдениями над движением небесных тел.

В такой формулировке закон всемирного тяготения применим к телам, которые можно считать материальными точками, т. е. к телам, расстояние между которыми очень велико по сравнению с их размерами, иначе следовало бы учитывать, что разные точки тел отстоят друг от друга на разные расстояния. Для однородных шарообразных тел формула верна при любом расстоянии между телами, если в качестве взять расстояние между их центрами. В частности, в случае притяжения тела Землей расстояние нужно отсчитывать от центра Земли. Это объясняет тот факт, что сила тяжести почти не убывает по мере увеличения высоты над Землей (§ 54): так как радиус Земли равен примерно 6400, то при изменении положения тела над поверхностью Земли в пределах даже десятков километров сила притяжения Земли остается практически неизменной.

Гравитационную постоянную можно определить, измерив все остальные величины, входящие в закон всемирного тяготения, для какого-либо конкретного случая.

Определить значение гравитационной постоянной впервые удалось при помощи крутильных весов, устройство которых схематически изображено на рис. 202. Легкое коромысло, на концах которого закреплены два одинаковых шара массы , повешено на длинной и тонкой нити. Коромысло снабжено зеркальцем, которое позволяет оптическим способом измерять малые повороты коромысла вокруг вертикальной оси. К шарам с разных сторон могут быть приближены два шара значительно большей массы .

Рис. 202. Схема крутильных весов для измерения гравитационной постоянной

Силы притяжения малых шаров к большим создают пару сил, вращающую коромысло по часовой стрелке (если смотреть сверху). Измерив угол, на который поворачивается коромысло при приближении к шарам шаров , и, зная упругие свойства нити, на которой подвешено коромысло, можно определить момент пары сил, с которыми притягиваются массы к массам . Так как массы шаров и и расстояние между их центрами (при данном положении коромысла) известны, то из формулы (124.1) может быть найдено значение . Оно оказалось равным

После того как было определено значение , оказалось возможным из закона всемирного тяготения определить массу Земли. Действительно, в соответствии с этим законом, тело массы , находящееся у поверхности Земли, притягивается к Земле с силой

где - масса Земли, а - ее радиус. С другой стороны, мы знаем, что . Приравняв эти величины, найдем

.

Таким образом, хотя силы всемирного тяготения, действующие между телами различной массы, равны, значительное ускорение получает тело малой массы, а тело большой массы испытывает малое ускорение.

Так как суммарная масса всех планет Солнечной системы составляет немногим больше массы Солнца, ускорение, которое испытывает Солнце в результате действия на него сил тяготения со стороны планет, ничтожно мало по сравнению с теми ускорениями, которые сила тяготения Солнца сообщает планетам. Относительно малы и силы тяготения, действующие между планетами. Поэтому при рассмотрении законов движения планет (законов Кеплера) мы не учитывали движения самого Солнца и приближенно считали, что траектории планет - эллиптические орбиты, в одном из фокусов которых находится Солнце. Однако в точных расчетах приходится принимать во внимание те «возмущения», которые вносят в движение самого Солнца или какой-либо планеты силы тяготения со стороны других планет.

124.1. Насколько уменьшится сила земного притяжения, действующая на ракетный снаряд, когда он поднимется на 600 км над поверхностью Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.

124.2. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Луны приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Найдите вес человека на Луне, если его вес на Земле равен 600Н.

124.3. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. Найдите на линии, соединяющей центры Земли и Луны, точку, в которой равны друг другу силы притяжения Земли и Луны, действующие на помещенное в этой точке тело.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Закон всемирного тяготения открыл И. Ньютоном:

Два тела притягиваются друг к другу с , прямо пропорциональной произведению их и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Описание закона всемирного тяготения

Коэффициент — это гравитационная постоянная. В системе СИ гравитационная постоянная имеет значение:

Эта постоянная, как видно, очень мала, поэтому силы тяготения между телами, имеющими небольшие массы, тоже малы и практически не ощущаются. Однако движение космических тел полностью определяется гравитацией. Наличие всемирного тяготения или, другими словами, гравитационного взаимодействия объясняет, на чем «держатся» Земля и планеты, и почему они двигаются вокруг Солнца по определенным траекториям, а не улетают от него прочь. Закон всемирного тяготения позволяет определить многие характеристики небесных тел – массы планет, звезд, галактик и даже черных дыр. Этот закон позволяет с большой точностью рассчитать орбиты планет и создать математическую модель Вселенной.

С помощью закона всемирного тяготения также можно рассчитать космические скорости. Например, минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью Земли, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите – 7,9 км/с (первая космическая скорость). Для того, чтобы покинуть Землю, т.е. преодолеть ее гравитационное притяжение, тело должно иметь скорость 11,2 км/с, (вторая космическая скорость).

Гравитация является одним из самых удивительных феноменов природы. В отсутствии сил гравитации существование Вселенной было бы невозможно, Вселенная не могла бы даже возникнуть. Гравитация ответственна за многие процессы во Вселенной – ее рождение, существование порядка вместо хаоса. Природа гравитации до сих пор до конца неразгаданна. До настоящего времени никто не смог разработать достойный механизм и модель гравитационного взаимодействия.

Сила тяжести

Частным случаем проявления гравитационных сил является сила тяжести.

Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз (по направлению к центру Земли).

Если на тело действует сила тяжести, то тело совершает . Вид движения зависит от направления и модуля начальной скорости.

С действием силы тяжести мы сталкиваемся каждый день. , через некоторое время оказывается на земле. Книга, выпущенная из рук, падает вниз. Подпрыгнув, человек не улетает в открытый космос, а опускается вниз, на землю.

Рассматривая свободное падение тела вблизи поверхности Земли как результат гравитационного взаимодействия этого тела с Землей, можно записать:

откуда ускорение свободного падения:

Ускорение свободного падения не зависит от массы тела, а зависит от высоты тела над Землей. Земной шар немного сплюснут у полюсов, поэтому тела, находящиеся около полюсов, расположены немного ближе к центру Земли. В связи с этим ускорение свободного падения зависит от широты местности: на полюсе оно немного больше, чем на экваторе и других широтах (на экваторе м/с , на Северном полюсе экваторе м/с .

Эта же формула позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массой и радиусом .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1 (задача о «взвешивании» Земли)

Задание	Радиус Земли км, ускорение свободного падения на поверхности планеты м/с . Используя эти данные, оценить приближенно массу Земли.
Решение	Ускорение свободного падения у поверхности Земли: откуда масса Земли: В системе Си радиус Земли м. Подставив в формулу численные значения физических величин, оценим массу Земли:
Ответ	Масса Земли кг.

ПРИМЕР 2

Задание

Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте 1000 км от поверхности Земли. С какой скоростью движется спутник? За какое время спутник совершит один полный оборот вокруг Земли?

Решение

По , сила, действующая на спутник со стороны Земли, равна произведению массы спутника на ускорение, с которым он движется: Со стороны земли на спутник действует сила гравитационного притяжения, которая по закону всемирного тяготения равна: где и массы спутника и Земли соответственно. Так как спутник находится на некоторой высоте над поверхностью Земли, расстояние от него до центра Земли: где радиус Земли.

Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Ньютона (Зако́н всемирного тяготе́ния Ньютона) - закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики . Этот закон был открыт Ньютоном около 1666 года. Он гласит, что сила F {\displaystyle F} гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m 1 {\displaystyle m_{1}} и m 2 {\displaystyle m_{2}} , разделёнными расстоянием R {\displaystyle R} , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними - то есть:

F = G ⋅ m 1 ⋅ m 2 R 2 {\displaystyle F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over R^{2}}}

Здесь G {\displaystyle G} - гравитационная постоянная , равная 6,67408(31)·10 −11 м³/(кг·с²) :.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Введение в закон всемирного тяготения Ньютона

✪ Закон Всемирного тяготения

✪ физика ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 9 класс

✪ Про Исаака Ньютона (Краткая история)

✪ Урок 60. Закон всемирного тяготения. Гравитационная постоянная

Субтитры

Теперь немного узнаем о тяготении, или гравитации. Как вы знаете, тяготение, особенно в начальном или даже в довольно углубленном курсе физики - это такое понятие, которое можно вычислить и узнать основные параметры, которыми оно обусловлено, но на самом деле тяготение не вполне поддается пониманию. Пусть даже вы знакомы с общей теорией относительности - если вас спросят, что такое тяготение, вы можете ответить: это искривление пространства-времени и тому подобное. Однако все равно трудно получить интуитивное представление, по какой причине два объекта, только лишь потому, что у них есть так называемая масса, притягиваются друг к другу. По крайней мере, для меня это мистика. Отметив это, приступим к рассмотрению понятия о тяготении. Будем делать это, изучая закон всемирного тяготения Ньютона, справедливый для большинства ситуаций. Этот закон гласит: сила взаимного гравитационного притяжения F между двумя материальными точками, обладающими массами m₁ и m₂, равна произведению гравитационной постоянной G на массу первого объекта m₁ и второго объекта m₂, деленному на квадрат расстояния d между ними. Это довольно несложная формула. Попробуем преобразовать ее и посмотрим, нельзя ли получить какие-то хорошо знакомые нам результаты. Используем эту формулу для расчета ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли. Давайте нарисуем сперва Землю. Просто чтобы понимать, о чем мы с вами говорим. Это наша Земля. Допустим, нам надо вычислить гравитационное ускорение, действующее на Сэла, то есть на меня. Вот он я. Попытаемся применить это уравнение для расчета величины ускорения моего падения к центру Земли, или к центру масс Земли. Величина, обозначенная заглавной буквой G - это универсальная гравитационная постоянная. Еще раз: G - это универсальная гравитационная постоянная. Хотя, насколько я знаю, хоть я и не эксперт в этом вопросе, мне кажется, ее значение может меняться, то есть это не настоящая постоянная, и я предполагаю, что при разных измерениях ее величина различается. Но для наших потребностей, а также в большинстве курсов физики, это постоянная, константа, равная 6,67 * 10^(−11) кубических метров, деленных на килограмм на секунду в квадрате. Да, ее размерность выглядит странно, но вам достаточно понять, что это - условные единицы, необходимые, чтобы в результате умножения на массы объектов и деления на квадрат расстояния получить размерность силы - ньютон, или килограмм на метр, деленный на секунду в квадрате. Так что об этих единицах измерения не стоит беспокоиться: просто знайте, что нам придется работать с метрами, секундами и килограммами. Подставим это число в формулу для силы: 6,67 * 10^(−11). Поскольку нам нужно знать ускорение, действующее на Сэла, то m₁ равна массе Сэла, то есть меня. Не хотелось бы разоблачать в этом сюжете, сколько я вешу, так что оставим эту массу переменной, обозначив ms. Вторая масса в уравнении - это масса Земли. Выпишем ее значение, заглянув в Википедию. Итак, масса Земли равна 5,97 * 10^24 килограммов. Да, Земля помассивнее Сэла. Кстати, вес и масса - разные понятия. Итак, сила F равна произведению гравитационной постоянной G на массу ms, затем на массу Земли, и все это делим на квадрат расстояния. Вы можете возразить: какое же расстояние между Землей и тем, что на ней стоит? Ведь если предметы соприкасаются, расстояние равно нулю. Здесь важно понять: расстояние между двумя объектами в данной формуле - это расстояние между их центрами масс. В большинстве случаев центр масс человека расположен примерно в трех футах над поверхностью Земли, если человек не слишком высокий. Как бы там ни было, мой центр масс может находиться на высоте три фута над землей. А где центр масс Земли? Очевидно, в центре Земли. А радиус Земли у нас равен чему? 6371 километр, или примерно 6 миллионов метров. Поскольку высота моего центра масс составляет около одной миллионной расстояния до центра масс Земли, то в данном случае ею можно пренебречь. Тогда расстояние будет равно 6 и так далее, как и все остальные величины, нужно записать его в стандартном виде - 6,371 * 10^6, поскольку 6000 км - это 6 миллионов метров, а миллион - это 10^6. Пишем, округляя все дроби до второго знака после запятой, расстояние равно 6,37 * 10^6 метров. В формуле стоит квадрат расстояния, поэтому возведем все в квадрат. Попробуем теперь упростить. Вначале перемножим величины в числителе и вынесем вперед переменную ms. Тогда сила F равна массе Сэла на всю верхнюю часть, вычислим ее отдельно. Итак, 6,67 умножить на 5,97 равно 39,82. 39,82. Это произведение значащих частей, которое теперь следует умножить на 10 в нужной степени. 10^(−11) и 10^24 имеют одинаковое основание, поэтому для их перемножения достаточно сложить показатели степени. Сложив 24 и −11, получим 13, в итоге имеем 10^13. Найдем знаменатель. Он равен 6,37 в квадрате, умноженное на 10^6 также в квадрате. Как вы помните, если число, записанное в виде степени, возводится в другую степень, то показатели степеней перемножаются, а значит, 10^6 в квадрате равно 10 в степени 6, умноженной на 2, или 10^12. Далее вычислим квадрат числа 6,37 с помощью калькулятора и получим… Возводим 6,37 в квадрат. И это 40,58. 40,58. Осталось разделить 39,82 на 40,58. Делим 39,82 на 40,58, что равняется 0,981. Потом делим 10^13 на 10^12, что равно 10^1, или просто 10. А 0,981, умноженное на 10, это 9,81. После упрощения и несложных расчетов получили, что сила тяготения вблизи поверхности Земли, действующая на Сэла, равна массе Сэла, умноженной на 9,81. Что нам это дает? Можно ли теперь вычислить гравитационное ускорение? Известно, что сила равна произведению массы на ускорение, поэтому и сила тяготения просто равна произведению массы Сэла на гравитационное ускорение, которое принято обозначать строчной буквой g. Итак, с одной стороны, сила притяжения равна числу 9,81, умноженному на массу Сэла. С другой, она же равна массе Сэла на гравитационное ускорение. Разделив обе части равенства на массу Сэла, получим, что коэффициент 9,81 и есть гравитационное ускорение. И если бы мы включили в расчеты полную запись единиц размерности, то, сократив килограммы, увидели бы, что гравитационное ускорение измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате, как и любое ускорение. Также можно заметить, что полученное значение очень близко к тому, которое мы использовали при решении задач о движении брошенного тела: 9,8 метров в секунду в квадрате. Это впечатляет. Решим еще одну короткую задачу на тяготение, потому что у нас осталось пара минут. Предположим, у нас есть другая планета под названием Земля Малышка. Пусть радиус Малышки rS вдвое меньше радиуса Земли rE, и ее масса mS также равна половине массы Земли mE. Чему будет равна сила тяжести, действующая здесь на какой-либо объект, и насколько она меньше силы земного тяготения? Хотя, давайте оставим задачу на следующий раз, потом ее решу. До встречи. Subtitles by the Amara.org community

Свойства ньютоновского тяготения

В ньютоновской теории каждое массивное тело порождает силовое поле притяжения к этому телу, которое называется гравитационным полем . Это поле потенциально , и функция гравитационного потенциала для материальной точки с массой M {\displaystyle M} определяется формулой:

φ (r) = − G M r . {\displaystyle \varphi (r)=-G{\frac {M}{r}}.}

В общем случае, когда плотность вещества ρ {\displaystyle \rho } распределена произвольно, удовлетворяет уравнению Пуассона :

Δ φ = − 4 π G ρ (r) . {\displaystyle \Delta \varphi =-4\pi G\rho (r).}

Решение этого уравнения записывается в виде:

φ = − G ∫ ρ (r) d V r + C , {\displaystyle \varphi =-G\int {\frac {\rho (r)dV}{r}}+C,}

где r {\displaystyle r} - расстояние между элементом объёма d V {\displaystyle dV} и точкой, в которой определяется потенциал φ {\displaystyle \varphi } , C {\displaystyle C} - произвольная постоянная.

Сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой m {\displaystyle m} , связана с потенциалом формулой:

F (r) = − m ∇ φ (r) . {\displaystyle F(r)=-m\nabla \varphi (r).}

Сферически симметричное тело создаёт за своими пределами такое же поле, как материальная точка той же массы, расположенная в центре тела.

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера . В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам . Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений .

Точность закона всемирного тяготения Ньютона

Экспериментальная оценка степени точности закона тяготения Ньютона является одним из подтверждений общей теории относительности . Опыты по измерению квадрупольного взаимодействия вращающегося тела и неподвижной антенны показали , что приращение δ {\displaystyle \delta } в выражении для зависимости ньютоновского потенциала r − (1 + δ) {\displaystyle r^{-(1+\delta)}} на расстояниях нескольких метров находится в пределах (2 , 1 ± 6 , 2) ∗ 10 − 3 {\displaystyle (2,1\pm 6,2)*10^{-3}} . Другие опыты также подтвердили отсутствие модификаций в законе всемирного тяготения .

Закон всемирного тяготения Ньютона в 2007 г. был проверен и на расстояниях, меньших одного сантиметра (от 55 мкм до 9,53 мм). С учетом погрешностей эксперимента в исследованном диапазоне расстояний отклонений от закона Ньютона не обнаружено .

Прецизионные лазерные дальнометрические наблюдения за орбитой Луны подтверждают закон всемирного тяготения на расстоянии от Земли до Луны с точностью 3 ⋅ 10 − 11 {\displaystyle 3\cdot 10^{-11}} .

Связь с геометрией евклидова пространства

Факт равенства с очень высокой точностью 10 − 9 {\displaystyle 10^{-9}} показателя степени расстояния в знаменателе выражения для силы тяготения числу 2 {\displaystyle 2} отражает евклидову природу трёхмерного физического пространства механики Ньютона. В трёхмерном евклидовом пространстве площадь поверхности сферы точно пропорциональна квадрату её радиуса

Исторический очерк

Сама идея всеобщей силы тяготения неоднократно высказывалась и до Ньютона. Ранее о ней размышляли Эпикур , Гассенди , Кеплер , Борелли , Декарт , Роберваль , Гюйгенс и другие . Кеплер полагал, что тяготение обратно пропорционально расстоянию до Солнца и распространяется только в плоскости эклиптики; Декарт считал его результатом вихрей в эфире . Были, впрочем, догадки с правильной зависимостью от расстояния; Ньютон в письме к Галлею упоминает как своих предшественников Буллиальда , Рена и Гука . Но до Ньютона никто не сумел ясно и математически доказательно связать закон тяготения (силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния) и законы движения планет (законы Кеплера).

• закон тяготения;
• закон движения (второй закон Ньютона);
• система методов для математического исследования (математический анализ).

В совокупности эта триада достаточна для полного исследования самых сложных движений небесных тел, тем самым создавая основы небесной механики . До Эйнштейна никаких принципиальных поправок к указанной модели не понадобилось, хотя математический аппарат оказалось необходимым значительно развить.

Отметим, что теория тяготения Ньютона уже не была, строго говоря, гелиоцентрической . Уже в задаче двух тел планета вращается не вокруг Солнца, а вокруг общего центра тяжести, так как не только Солнце притягивает планету, но и планета притягивает Солнце. Наконец, выяснилась необходимость учесть влияние планет друг на друга.

В течение XVIII века закон всемирного тяготения был предметом активной дискуссии (против него выступали сторонники школы Декарта) и тщательных проверок. К концу века стало общепризнано, что закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Генри Кавендиш в 1798 году осуществил прямую проверку справедливости закона тяготения в земных условиях, используя исключительно чувствительные крутильные весы . Важным этапом стало введение Пуассоном в 1813 году понятия гравитационного потенциала и уравнения Пуассона для этого потенциала; эта модель позволяла исследовать гравитационное поле при произвольном распределении вещества . После этого ньютоновский закон стал рассматриваться как фундаментальный закон природы.

В то же время ньютоновская теория содержала ряд трудностей. Главная из них - необъяснимое дальнодействие : сила притяжения передавалась непонятно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс . В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия .

Дальнейшее развитие

Общая теория относительности

На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году , с созданием общей теории относительности Эйнштейна , в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона, в полном согласии с принципом соответствия , оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:

В слабых стационарных гравитационных полях уравнения движения переходят в ньютоновы (гравитационный потенциал). Для доказательства покажем, что скалярный гравитационный потенциал в слабых стационарных гравитационных полях удовлетворяет уравнению Пуассона

Δ Φ = − 4 π G ρ {\displaystyle \Delta \Phi =-4\pi G\rho } .

Известно (Гравитационный потенциал), что в этом случае гравитационный потенциал имеет вид:

Φ = − 1 2 c 2 (g 44 + 1) {\displaystyle \Phi =-{\frac {1}{2}}c^{2}(g_{44}+1)} .

Найдем компоненту тензора энергии-импульса из уравнений гравитационного поля общей теории относительности:

R i k = − ϰ (T i k − 1 2 g i k T) {\displaystyle R_{ik}=-\varkappa (T_{ik}-{\frac {1}{2}}g_{ik}T)} ,

где R i k {\displaystyle R_{ik}} - тензор кривизны . Для мы можем ввести кинетический тензор энергии-импульса ρ u i u k {\displaystyle \rho u_{i}u_{k}} . Пренебрегая величинами порядка u / c {\displaystyle u/c} , можно положить все компоненты T i k {\displaystyle T_{ik}} , кроме T 44 {\displaystyle T_{44}} , равными нулю. Компонента T 44 {\displaystyle T_{44}} равна T 44 = ρ c 2 {\displaystyle T_{44}=\rho c^{2}} и, следовательно T = g i k T i k = g 44 T 44 = − ρ c 2 {\displaystyle T=g^{ik}T_{ik}=g^{44}T_{44}=-\rho c^{2}} . Таким образом, уравнения гравитационного поля принимают вид R 44 = − 1 2 ϰ ρ c 2 {\displaystyle R_{44}=-{\frac {1}{2}}\varkappa \rho c^{2}} . Вследствие формулы

R i k = ∂ Γ i α α ∂ x k − ∂ Γ i k α ∂ x α + Γ i α β Γ k β α − Γ i k α Γ α β β {\displaystyle R_{ik}={\frac {\partial \Gamma _{i\alpha }^{\alpha }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \Gamma _{ik}^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}+\Gamma _{i\alpha }^{\beta }\Gamma _{k\beta }^{\alpha }-\Gamma _{ik}^{\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }}

значение компоненты тензора кривизны R 44 {\displaystyle R_{44}} можно взять равным R 44 = − ∂ Γ 44 α ∂ x α {\displaystyle R_{44}=-{\frac {\partial \Gamma _{44}^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}} и так как Γ 44 α ≈ − 1 2 ∂ g 44 ∂ x α {\displaystyle \Gamma _{44}^{\alpha }\approx -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{44}}{\partial x^{\alpha }}}} , R 44 = 1 2 ∑ α ∂ 2 g 44 ∂ x α 2 = 1 2 Δ g 44 = − Δ Φ c 2 {\displaystyle R_{44}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}g_{44}}{\partial x_{\alpha }^{2}}}={\frac {1}{2}}\Delta g_{44}=-{\frac {\Delta \Phi }{c^{2}}}} . Таким образом, приходим к уравнению Пуассона:

Δ Φ = 1 2 ϰ c 4 ρ {\displaystyle \Delta \Phi ={\frac {1}{2}}\varkappa c^{4}\rho } , где ϰ = − 8 π G c 4 {\displaystyle \varkappa =-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}}

Квантовая гравитация

Однако и общая теория относительности не является окончательной теорией гравитации, так как неудовлетворительно описывает гравитационные процессы в квантовых масштабах (на расстояниях порядка планковского , около 1,6⋅10 −35 ). Построение непротиворечивой квантовой теории гравитации - одна из важнейших нерешённых задач современной физики.

С точки зрения квантовой гравитации, гравитационное взаимодействие осуществляется путём обмена виртуальными гравитонами между взаимодействующими телами. Согласно принципу неопределенности , энергия виртуального гравитона обратно пропорциональна времени его существования от момента излучения одним телом до момента поглощения другим телом. Время существования пропорционально расстоянию между телами. Таким образом, на малых расстояниях взаимодействующие тела могут обмениваться виртуальными гравитонами с короткими и длинными длинами волн, а на больших расстояниях только длинноволновыми гравитонами. Из этих соображений можно получить закон обратной пропорциональности ньютоновского потенциала от расстояния. Аналогия между законом Ньютона и законом Кулона объясняется тем, что масса гравитона, как и масса

Эта статья уделит внимание истории открытия закона всемирного тяготения. Здесь мы ознакомимся с биографическими сведениями из жизни ученого, открывшего эту физическую догму, рассмотрим ее основные положения, взаимосвязь с квантовой гравитацией, ход развития и многое другое.

Гений

Сэр Исаак Ньютон - ученый родом из Англии. В свое время много внимания и сил уделил таким науками, как физика и математика, а также привнес немало нового в механику и астрономию. По праву считается одним из первых основоположников физики в ее классической модели. Является автором фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», где изложил информацию о трех законах механики и законе всемирного тяготения. Исаак Ньютон заложил этими работами основы классической механики. Им было разработано и интегрального типа, световая теория. Он также внес большой вклад в физическую оптику и разработал множество других теорий в области физики и математики.

Закон

Закон всемирного тяготения и история его открытия уходят своим началом в далекий Его классическая форма - это закон, при помощи которого описывается взаимодействие гравитационного типа, не выходящее за пределы рамок механики.

Его суть заключалась в том, что показатель силы F гравитационной тяги, возникающей между 2 телами или точками материи m1 и m2, отделенными друг от друга определенным расстоянием r, соблюдает пропорциональность по отношению к обоим показателям массы и имеет обратную пропорциональность квадрату расстояния между телами:

F = G, где символом G мы обозначаем постоянную гравитации, равную 6,67408(31).10 -11 м 3 /кгс 2 .

Тяготение Ньютона

Прежде чем рассмотреть историю открытия закона всемирного тяготения, ознакомимся более детально с его общей характеристикой.

В теории, созданной Ньютоном, все тела с большой массой должны порождать вокруг себя особое поле, которое притягивает другие объекты к себе. Его называют гравитационным полем, и оно имеет потенциал.

Тело, обладающее сферической симметрией, образует за пределом самого себя поле, аналогичное тому, которое создает материальная точка той же массы, расположенная в центре тела.

Направление траектории такой точки в поле гравитации, созданным телом с гораздо более большой массой, подчиняется Объекты вселенной, такие как, например, планета или комета, также подчиняются ему, двигаясь по эллипсу или гиперболе. Учет искажения, которое создают другие массивные тела, учитывается с помощью положений теории возмущения.

Анализируя точность

После того, как Ньютон открыл закон всемирного тяготения, его необходимо было проверить и доказать множество раз. Для этого совершались ряды расчетов и наблюдений. Придя к согласию с его положениями и исходя из точности его показателя, экспериментальная форма оценивания служит ярким подтверждением ОТО. Измерение квадрупольных взаимодействий тела, что вращается, но антенны его остаются неподвижными, показывают нам, что процесс наращивания δ зависит от потенциала r -(1+δ) , на расстоянии в несколько метров и находится в пределе (2,1±6,2).10 -3 . Ряд других практических подтверждений позволили этому закону утвердиться и принять единую форму, без наличия модификаций. В 2007 г. данную догму перепроверили на расстоянии, меньшем сантиметра (55 мкм-9,59 мм). Учитывая погрешности эксперимента, ученые исследовали диапазон расстояния и не обнаружили явных отклонений в этом законе.

Наблюдение за орбитой Луны по отношению к Земле также подтвердило его состоятельность.

Евклидово пространство

Классическая теория тяготения Ньютона связана с евклидовым пространством. Фактическое равенство с достаточно большой точностью (10 -9) показателей меры расстояния в знаменателе равенства, рассмотренного выше, показывает нам эвклидову основу пространства Ньютоновской механики, с трехмерной физической формой. В такой точке материи площадь сферической поверхности имеет точную пропорциональность по отношению к величине квадрата ее радиуса.

Данные из истории

Рассмотрим краткое содержание истории открытия закона всемирного тяготения.

Идеи выдвигались и другими учеными, живших перед Ньютоном. Размышления о ней посещали Эпикура, Кеплера, Декарта, Роберваля, Гассенди, Гюйгенса и других. Кеплер выдвигал предположение о том, что сила тяготения имеет обратную пропорцию расстоянию от звезды Солнца и распространение имеет лишь в эклиптических плоскостях; по мнению Декарта, она была последствием деятельности вихрей в толще эфира. Существовал ряд догадок, который содержал в себе отражение правильных догадок о зависимости от расстояния.

Письмо от Ньютона Галлею содержало информацию о том, что предшественниками самого сэра Исаака были Гук, Рен и Буйо Исмаэль. Однако до него никому не удалось четко, при помощи математических методов, связать закон тяготения и планетарное движение.

История открытия закона всемирного тяготения тесно связанна с трудом «Математические начала натуральной философии» (1687). В этой работе Ньютон смог вывести рассматриваемый закон благодаря эмпирическому закону Кеплера, уже бывшему к тому времени известным. Он нам показывает, что:

• форма движения любой видимой планеты свидетельствует о наличичи центральной силы;
• сила притяжения центрального типа образует эллиптические или гиперболические орбиты.

О теории Ньютона

Осмотр краткой истории открытия закона всемирного тяготения также может указать нам на ряд отличий, которые выделяли ее на фоне предшествующих гипотез. Ньютон занимался не только публикацией предлагаемой формулы рассматриваемого явления, но и предлагал модель математического типа в целостном виде:

• положение о законе тяготения;
• положение о законе движения;
• систематика методов математических исследований.

Данная триада могла в достаточно точной мере исследовать даже самые сложные движения небесных объектов, таким образом создавая основу для небесной механики. Вплоть до начала деятельности Эйнштейна в данной модели наличие принципиального набора поправок не требовалось. Лишь математические аппараты пришлось значительно улучшить.

Объект для обсуждений

Обнаруженный и доказанный закон в течение всего восемнадцатого века стал известным предметом активных споров и скрупулезных проверок. Однако век завершился общим согласием с его постулатами и утверждениям. Пользуясь расчетами закона, можно было точно определить пути движения тел на небесах. Прямая проверка была совершена в 1798 году. Он сделал это, используя весы крутильного типа с большой чувствительностью. В истории открытия всемирного закона тяготения необходимо выделить особое место толкованиям, введенным Пуассоном. Он разработал понятие потенциала гравитации и Пуассоново уравнение, при помощи которого можно было исчислять данный потенциал. Такой тип модели позволял заниматься исследованием гравитационного поля в условиях наличия произвольного распределения материи.

В теории Ньютона было немало трудностей. Главной из них можно было считать необъяснимость дальнодействия. Нельзя было точно ответить на вопрос о том, как силы притяжения пересылаются сквозь вакуумное пространство с бесконечной скоростью.

«Эволюция» закона

Последующие двести лет, и даже больше, множеством ученых-физиков были предприняты попытки предложить разнообразные способы по усовершенствованию теории Ньютона. Данные усилия окончились триумфом, совершенным в 1915 году, а именно сотворением Общей теории относительности, которую создал Эйнштейн. Он смог преодолеть весь набор трудностей. В согласии с принципом соответствия теория Ньютона оказалась приближением к началу работы над теорией в более общем виде, которое можно применять при наличии определенных условий:

1. Потенциал гравитационной природы не может быть слишком большим в исследуемых системах. Солнечная система является примером соблюдения всех правил по движению небесного типа тел. Релятивистское явление находит себя в заметном проявлении смещения перигелия.
2. Показатель скорости движения в данной группе систем является незначительным в сравнении со световой скоростью.

Доказательством того, что в слабом стационарном поле гравитации расчеты ОТО принимают форму ньютоновых, служит наличие скалярного потенциала гравитации в стационарном поле со слабо выраженными характеристиками сил, который способен удовлетворить условия уравнения Пуассона.

Масштаб квантов

Однако в истории ни научное открытие закона всемирного тяготения, ни Общая теория относительности не могли служить окончательной гравитационной теорией, поскольку обе недостаточно удовлетворительно описывают процессы гравитационного типа в масштабах квантов. Попытка создания квантово-гравитационной теории является одной из самых главных задач физики современности.

Со точки зрения квантовой гравитации взаимодействие между объектами создается при помощи взаимообмена виртуальными гравитонами. В соответствии с принципом неопределенности, энергетический потенциал виртуальных гравитонов имеет обратную пропорциональность промежутку времени, в котором он существовал, от точки излучения одним объектом до момента времени, в котором его поглотила другая точка.

Ввиду этого получается, что в малом масштабе расстояний взаимодействие тел влечет за собой и обмен гравитонами виртуального типа. Благодаря данным соображениям можно заключить положение о законе потенциала Ньютона и его зависимости в соответствии обратному показателю пропорциональности по отношению к расстоянию. Наличие аналогии между законами Кулона и Ньютона объясняется тем, что вес гравитонов равняется нулю. Это же значение имеет и вес фотонов.

Заблуждение

В школьной программе ответом на вопрос из истории, как Ньютон открыл закон всемирного тяготения, служит история о падающем плоде яблока. Согласно этой легенде, оно свалилось на голову ученому. Однако это - массово распространенное заблуждение, и в действительности все смогло обойтись без подобного случая возможной травмы головы. Сам Ньютон иногда подтверждал данный миф, но в действительности закон не был спонтанным открытием и не пришел в порыве сиюминутного озарения. Как было написано выше, он разрабатывался долгое время и был представлен впервые в трудах о «Математических началах», вышедших на обозрение публике в 1687 году.

Всемирное тяготение

Гравита́ция (всеми́рное тяготе́ние, тяготе́ние) (от лат. gravitas - «тяжесть») - дальнодействующее фундаментальное взаимодействие в природе, которому подвержены все материальные тела. По современным данным, является универсальным взаимодействием в том смысле, что, в отличие от любых других сил, всем без исключения телам независимо от их массы придаёт одинаковое ускорение . Главным образом гравитация играет определяющую роль в космических масштабах. Термин гравитация используется также как название раздела физики , изучающего гравитационное взаимодействие. Наиболее успешной современной физической теорией в классической физике , описывающей гравитацию, является общая теория относительности , квантовая теория гравитационного взаимодействия пока не построена.

Гравитационное взаимодействие

Гравитационное взаимодействие - одно из четырёх фундаментальных взаимодействий в нашем мире. В рамках классической механики , гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m 1 и m 2 , разделёнными расстоянием R , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния - то есть

.

Здесь G - гравитационная постоянная , равная примерно м³/(кг с²). Знак минус означает, что сила, действующая на тело, всегда равна по направлению радиус-вектору, направленному на тело, то есть гравитационное взаимодействие приводит всегда к притяжению любых тел.

Закон всемирного тяготения - одно из приложений закона обратных квадратов, встречающегося так же и при изучении излучений (см. например, Давление света), и являющимся прямым следствием квадратичного увеличения площади сферы при увеличении радиуса, что приводит к квадратичному же уменьшению вклада любой единичной площади в площадь всей сферы.

Наиболее простой задачей небесной механики является гравитационное взаимодействие двух тел в пустом пространстве. Эта задача решается аналитически до конца; результат её решения часто формулируют в виде трёх законов Кеплера .

При увеличении количества взаимодействующих тел задача резко усложняется. Так, уже знаменитая задача трёх тел (то есть движение трёх тел с ненулевыми массами) не может быть решена аналитически в общем виде. При численном же решении, достаточно быстро наступает неустойчивость решений относительно начальных условий. В применении к Солнечной системе , эта неустойчивость не позволяет предсказать движение планет на масштабах, превышающих сотню миллионов лет.

В некоторых частных случаях удаётся найти приближённое решение. Наиболее важным является случай, когда масса одного тела существенно больше массы других тел (примеры: солнечная система и динамика колец Сатурна). В этом случае в первом приближении можно считать, что лёгкие тела не взаимодействуют друг с другом и движутся по кеплеровым траекториям вокруг массивного тела. Взаимодействия же между ними можно учитывать в рамках теории возмущений , и усреднять по времени. При этом могут возникать нетривиальные явления, такие как резонансы , аттракторы , хаотичность и т. д. Наглядный пример таких явлений - нетривиальная структура колец Сатурна.

Несмотря на попытки описать поведение системы из большого числа притягивающихся тел примерно одинаковой массы, сделать этого не удаётся из-за явления динамического хаоса .

Сильные гравитационные поля

В сильных гравитационных полях, при движении с релятивистскими скоростями, начинают проявляться эффекты общей теории относительности :

• отклонение закона тяготения от ньютоновского;
• запаздывание потенциалов, связанное с конечной скоростью распространения гравитационных возмущений ; появление гравитационных волн;
• эффекты нелинейности: гравитационные волны имеют свойство взаимодействовать друг с другом, поэтому принцип суперпозиции волн в сильных полях уже не выполняется;
• изменение геометрии пространства-времени;
• возникновение черных дыр ;

Гравитационное излучение

Одним из важных предсказаний ОТО является гравитационное излучение , наличие которого до сих пор не подтверждено прямыми наблюдениями. Однако, имеются косвенные наблюдательные свидетельства в пользу его существования, а именно: потери энергии в двойной системе с пульсаром PSR B1913+16 - пульсаром Халса-Тейлора - хорошо согласуются с моделью, в которой эта энергия уносится гравитационным излучением.

Гравитационное излучение могут генерировать только системы с переменным квадрупольным или более высокими мультипольными моментами , этот факт говорит о том, что гравитационное излучение большинства природных источников направленное, что существенно усложняет его обнаружение. Мощность гравитационного l -польного источника пропорциональна (v / c ) 2l + 2 , если мультиполь имеет электрический тип, и (v / c ) 2l + 4 - если мультиполь магнитного типа , где v - характерная скорость движения источников в излучающей системе, а c - скорость света. Таким образом, доминирующим моментом будет квадрупольный момент электрического типа, а мощность соответствующего излучения равна:

где Q i j - тензор квадрупольного момента распределения масс излучающей системы. Константа (1/Вт) позволяет оценить порядок величины мощности излучения.

Начиная с 1969 года (эксперименты Вебера (англ.)) и до настоящего времени (февраль 2007) предпринимаются попытки прямого обнаружения гравитационного излучения. В США, Европе и Японии в настоящий момент существует несколько действующих наземных детекторов (GEO 600), а также проект космического гравитационного детектора республики Татарстан .

Тонкие эффекты гравитации

Помимо классических эффектов гравитационного притяжения и замедления времени, общая теория относительности предсказывает существование других проявлений гравитации, которые в земных условиях весьма слабы и их обнаружение и экспериментальная проверка поэтому весьма затруднительны. До последнего времени преодоление этих трудностей представлялось за пределами возможностей экспериментаторов.

Среди них, в частности, можно назвать увлечение инерциальных систем отсчета (или эффект Лензе-Тирринга) и гравитомагнитное поле . В 2005 году автоматический аппарат НАСА Gravity Probe B провёл беспрецедентный по точности эксперимент по измерению этих эффектов вблизи Земли, но его полные результаты пока не опубликованы.

Квантовая теория гравитации

Несмотря на более чем полувековую историю попыток, гравитация - единственное из фундаментальных взаимодействий, для которого пока ещё не построена непротиворечивая перенормируемая квантовая теория . Впрочем, при низких энергиях, в духе квантовой теории поля , гравитационное взаимодействие можно представить как обмен гравитонами - калибровочными бозонами со спином 2.

Стандартные теории гравитации

В связи с тем, что квантовые эффекты гравитации чрезвычайно малы даже в самых экстремальных экспериментальных и наблюдательных условиях, до сих пор не существует их надёжных наблюдений. Теоретические оценки показывают, что в подавляющем большинстве случаев можно ограничиться классическим описанием гравитационного взаимодействия.

Существует современная каноническая классическая теория гравитации - общая теория относительности , и множество уточняющих её гипотез и теорий различной степени разработанности, конкурирующих между собой (см. статью Альтернативные теории гравитации). Все эти теории дают очень похожие предсказания в рамках того приближения, в котором в настоящее время осуществляются экспериментальные тесты. Далее описаны несколько основных, наиболее хорошо разработанных или известных теорий гравитации.

• Гравитация есть не геометрическое поле, а реальное физическое силовое поле, описываемое тензором.

• Гравитационные явления следует рассматривать в рамках плоского пространства Минковского, в котором однозначно выполняются законы сохранения энергии-импульса и момента количества движения. Тогда движение тел в пространстве Минковского эквивалентно движению этих тел в эффективном римановом пространстве.

• В тензорных уравнениях для определения метрики следует учитывать массу гравитона, а также использовать калибровочные условия, связанные с метрикой пространства Минковского. Это не позволяет уничтожить гравитационное поле даже локально выбором какой-то подходящей системы отсчёта.

Как и в ОТО, в РТГ под веществом понимаются все формы материи (включая и электромагнитное поле), за исключением самого гравитационного поля. Следствия из теории РТГ таковы: чёрных дыр как физических объектов, предсказываемых в ОТО, не существует; Вселенная плоская, однородная, изотропная, неподвижная и евклидовая.

C другой стороны, существуют не менее убедительные аргументы противников РТГ, сводящиеся к следующим положениям:

Подобное имеет место и в РТГ, где второе тензорное уравнение вводится для учёта связи между неевклидовым пространством и пространством Минковского . Благодаря наличию безразмерного подгоночного параметра в теории Йордана - Бранса - Дикке, появляется возможность выбрать его так, чтобы результаты теории совпадали с результатами гравитационных экспериментов.

Теории гравитации

Классическая теория тяготения Ньютона Общая теория относительности Квантовая гравитация Альтернативные Математическая формулировка общей теории относительности Гравитация с массивным гравитоном Геометродинамика (англ.) Полуклассическая гравитация (англ.) Биметрические теории Скаляр-тензор-векторная гравитация (англ.) Теория гравитации Уайтхеда (англ.) Модифицированная ньютоновская динамика (англ.) Составная гравитация (англ.)

Источники и примечания

Литература

• Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование, 1900-1915). М.: Наука, 1981. - 352c.
• Визгин В. П. Единые теории в 1-й трети ХХ в. М.: Наука, 1985. - 304c.
• Иваненко Д. Д. , Сарданашвили Г. А. Гравитация, 3-е изд. М.:УРСС, 2008. - 200с.

См. также

• Гравиметр

Ссылки

• Закон всемирного тяготения или «Почему Луна не падает на Землю?» - Просто о сложном

Wikimedia Foundation . 2010 .