Немецкий математик и астроном-теоретикАвгуст Фердинанд Мёбиус (1790-1868) - ученик великого Гаусса, известный геометр, профессор Лейпцигского университета, директор обсерватории. Долгие годы преподавания, долгие годы работы – обычная жизнь профессора.

Существуют две легенды открытия односторонней поверхности.

Как же называют ленту Мебиуса (иначе лист Мебиуса или петлю Мебиуса) математики?

На языке математики – это топологический объект, простейшая односторонняя поверхностьс краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве, где можно попасть из одной точки этой поверхности в любую другую, не пересекая края.

Достаточно сложное определение!

Поэтому удобнее просто рассмотреть ленту Мебиуса поближе. Берем бумажную полоску, перекручиваем полоску в пол-оборота поперек (на 180 градусов) и склеиваем концы.

В другой раз "мама бы по головке за такую работу не погладила"! Но, на этот раз вы правы! Она должна быть перекрученным кольцом.

Ставим в каком-нибудь месте на полоске точку фломастером. А теперь прочерчиваем вдоль всей нашей ленты линию, пока вам не встретится вновь ваша точка. Вам нигде не пришлось переходить через край – это и называется односторонней поверхностью.

Посмотрите, как интересно проходит прочерченная вами линия: она то внутри кольца, то снаружи! А теперь измерьте длину этой линии - от точки до точки.
Удивляетесь?
Она оказывается в два раза длиннее первоначальной полоски бумаги!

Так и должно быть, ведь у вас в руках лента Мебиуса! А у ленты Мебиуса есть только одна сторона, и мы опять скажем – это односторонняя поверхность с краем.

1. Разрежьте ленту Мебиуса вкруговую по центральной линии. Не бойтесь, она не развалится на две части! Лента развернется в длинную замкнутую ленту, закрученную вдвое больше, чем первоначальная. Почему лента Мебиуса при таком разрезе не распадается на отдельные части?
Разрез не касался края ленты, поэтому после разреза край (а значит и вся полоска бумаги) останется целым куском.

2. Полученную после первого опыта ленту Мебиуса (закрученную вдвое больше, чем первоначальная, т.е. на 360 градусов) вновь разрежьте по ее центральной линии.

3. Сделайте новую ленту Мебиуса, но перед склейкой поверните ее не один раз, а три раза (не на 180 градусов, а на 540). Затем разрежьте ее вдоль центральной линии.

Давайте поэкспериментируем: вырежем из бумаги полоску, склеим концы ленты, но не так, как обычно, а с поворотом на 180 градусов. У нас получилась лента Мёбиуса.

Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли ради научного интереса - теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась ещё в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.

Свойства ленты Мёбиуса

Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернётесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы её не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя . Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.

Поработаем ножницами ещё раз: проткнём эту ленту и аккуратно разрежем её вдоль - точно посередине. «Ну вот, - подумаете вы, - сейчас получатся два отдельных кольца…».

Но что это? Вместо двух колец, получается одно! Причём оно больше и тоньше первоначального, и перекручено дважды. «Такого не бывает», - скажете вы. Бывает.

Как Вы думаете, что станет с этой фигурой, если её снова разрезать? Может быть, снова выйдет одна целая, но перекрученная полоска бумаги? Нет. На этот раз получатся уже два сцепленных кольца.

Вот такие интересные метаморфозы таит в себе лента Мебиуса. Вы можете показать друзьям эти явления, выдавая их за фокусы, тогда как на самом деле вы просто продемонстрируете им математические законы.

Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - топология .
Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитым топологом и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем!

Лента Мёбиуса в архитектуре

А где в реальной жизни можно увидеть ленту Мёбиуса? Многие архитекторы в своих проектах пытаются использовать загадочную ленту. Так бельгийский архитектор Винсент Каллебо для парка в Тайване разработал новое здание, которое напоминает ленту Мебиуса.

Сооружение имеет форму ласточкиного гнезда и начинается с треугольника, а затем закручивается в эллипс. Внутри строения можно полюбоваться растениями, предметами искусства или просто совершить прогулку.

Представим себе поверхность и сидящего на ней муравья. Удастся ли муравью доползти до обратной стороны поверхности – образно говоря, до её изнанки, - не перелезая через край? Конечно же нет!

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)

Первый пример односторонней поверхности, в любое место которой может доползти муравей, не перелезая через край, привел Мёбиус в 1858г.

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – ученик «короля» математиков Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века.

В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса (или лента). Мёбиус придумал ленту, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.
В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мебиуса, развернутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки.

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.
2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.
3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.
5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств. Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная - это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта. По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:
1. Для изготовления ее модели потребуются: - лист обычной бумаги;
- ножницы;
- линейка.
2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.
3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 180* так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.
4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.
5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.

Архитетурные решения с использованием идеи ленты Мебиуса:

Ювелирные украшения в виде ленты Мёбиуса:

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Устройство под названием резистор Мёбиуса - это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.
Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - «Лист Мёбиуса II», показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг серии «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».

Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке».

В книге Е. Наумова «Полураспад» (1989 год) интеллигент-алкоголик путешествует по стране, становясь на ленту Мёбиуса.

Москва, «Лента Мёбиуса»

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo». Из аннотации к книге: «„Echo“ - литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии - „мальчиков“ и „девочек“ - переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.

В визуальной новелле CHARON "Makoto Mobius" главный герой Ватаро пытается спасти одноклассницу от смерти, используя магический артефакт - ленту Мёбиуса.

В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Гоночный трек в одном из эпизодов (7 сезон 14 серия, 11 минута) мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976)

Году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности , так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса. (см. символ бесконечности).

Свойства

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотаные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мёбиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника . Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Геометрия и топология

Параметрическое описание листа Мёбиуса.

Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные так, чтобы направления стрелок совпали.

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества является параметризация:

где и . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в . Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.

Лист Мёбиуса - это также пространство нетривиального расслоения над окружностью с слоем отрезок.

Подобные объекты

Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна . Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

Другое похожее множество - сфера с плёнкой. Если проколоть отверстие в сфере с плёнкой, тогда то что останется будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет сфера с плёнкой. Чтобы визуализировать это, полезно деформировать ленту Мёбиуса так, чтобы её граница стала обычным кругом. Такую фигуру называют «пересечённая крышка» (пересечённая крышка может также означать ту же фигуру с приклееным диском, то есть погружение проективной плоскости в ).

Существует распространённое заблуждение, что пересечённая крышка не может быть сформирована в трёх измерениях без самопересекающейся поверхности. На самом деле возможно поместить ленту Мёбиуса в с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем - пусть C будет единичным кругом в плоскости x y в . Соединив антиподные точки на C , то есть, точки под углами θ и θ + π дугой круга, получим, что для θ между 0 и π / 2 дуги лежат выше плоскости x y , а для других θ ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости x y ).

Можно заметить, что если диск приклеивается к граничной окружности, то самопересечение получающейся сфера сплёнкой неизбежно в трёхмерном пространстве. В терминах задания сторон квадрата, как было показано выше, сфера с плёнкой получается склеиванием двух оставшихся сторон с сохранением ориентации.

Открытые проблемы

ОТВЕТ : Таких формул существует бесконечно много, см., напр., .

Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Эта задача, впервые поставленная Садовским (M. Sadowsky ) в 1930 году, была недавно решена, см. . Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Искусство и технология

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - лист Мёбиуса II , показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике , например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты» . Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Ленобласть
• Лента Мёбиуса

Смотреть что такое "Лента Мебиуса" в других словарях:

Лента мебиуса - Лента Мёбиуса Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R3. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не… … Википедия

ЛЕНТА МЕБИУСА - Группа была образована 29 марта 1996 г. Николаем Марконовым (вокал, гитара, тексты) экс Аниматоры. В группу приходят Алексей Шубенко (бас), (гр. Мотохулиганы), Валерий Быстрое (соло), (гр. Буш билдинг), Олег Буробин (ударные), (гр. Старик… … Русский рок. Малая энциклопедия

Лента Мёбиуса - Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса, петля Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, однос … Википедия

Лента мёбиуса - Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R3. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.… … Википедия